Algebra boolowska

Algebra boolowska została stworzona przez George'a Boole'a w pracach Matematyczna analiza logiki (1847) oraz Rozważania nad prawami myśli (1854). Stała się podstawą rozwoju elektroniki cyfrowej i jest obecna we wszystkich współczesnych językach programowania. Jest także używana w matematycznej teorii zbiorów czy statystyce.

Wartości

Zwykle w algebrze definiujemy liczby (np. 0, 1, 7, …), jednak w algebrze Boole'a definiuje się jedynie wartości prawdy: prawdę oraz fałsz. Wartości te można reprezentować za pomocą bitów (lub: liczb binarnych), odpowiednio 1 oraz 0. Wartości te nie zachowują się jak liczby całkowite, dlatego należy poznać sposób pracy, liczenia, w tej algebrze.

Podstawowe operacje

Podstawowymi operacjami logiki boolowskiej są: koniunkcja (AND, iloczyn logiczny), alternatywa (OR, suma logiczna) oraz negacja (NOT). Operatory te omówiono poniżej.

Koniunkcja

Koniunkcję reprezentuje się za pomocą znaków lub . Jej działanie reprezentuje niniejsza tabela prawdy.

Zauważmy sposób działania iloczynu logicznego: , gdy , w przeciwnym wypadku — .

Alternatywa

Alternatywę reprezentuje się za pomocą znaków lub . Jej działanie reprezentuje niniejsza tabela prawdy.

Zauważmy sposób działania sumy logicznego: , gdy , w przeciwnym wypadku — , czyli prawda, gdy którakolwiek przesłanka jest prawdziwa.

Negacja

Negację reprezentuje się za pomocą znaków lub linią ponad znakiem (). Jej działanie reprezentuje niniejsza tabela prawdy.

Zauważamy sposób działania negacji: zmiana wartości z prawdy na fałsz i odwrotnie.

Prawa algebry logicznej

Jak w każdej algebrze, i w tej określono pewne zasady. Są nimi łączność, rozdzielność, przemienność oraz prawa De Morgana. Pierwsze trzy dotyczą wyłącznie operatorów AND i OR.

Łączność

Łączność jest taką własnością algebry, że kolejność wykonywania działań nie ma znaczenia (uwaga! tylko przy takim samym operatorze).

Rozdzielność

Własność rozdzielności pozwala zastosować operator na wartości (operandy) w nawiasach.


(rozdzielność koniunkcji względem alternatywy
lub
rozdzielność mnożenia względem dodawania)


(rozdzielność alternatywy względem koniunkcji
lub
rozdzielność dodawania względem mnożenia, przy czym nie można takiej reguły zastosować w „normalnej” matematyce)

Przemienność

Przemienność oznacza, że kolejność stosowania operatora nie ma znaczenia.

Prawa De Morgana

Dziewiętnastowieczny matematyk, Augustus De Morgan, zaproponował używane do dziś następujące prawa definiujące koniunkcję i alternatywę przy pomocy tych funkcji na wzajem oraz negacji. Przedstawia się je jako następujące „regułki”:

Negacja koniunkcji jest alternatywą negacji.

Negacja alternatywy jest koniunkcją negacji.

Oczywiście możemy zaprezentować także przy ich pomocy same funkcje, a nie ich negacje. Negując obie strony równań, otrzymamy:

Ważność operatorów

Należy wskazać:

można ułatwić zrozumienie powyższego zapisu, używając następującego:

Widzimy teraz analogię do znanej z „codziennej” matematyki kolejności wykonywania działań.

Zasady

Dzięki wprowadzonym wcześniej prawom, możemy przyspieszyć pracę z logiką, stosując następujące własności algebry Boole'a.

  1. ,
  2. ,
  3. – identyczność koniunkcji — wynik będzie zależeć tylko od A, ponieważ 1 nie wpływa na wynik iloczynu logicznego,
  4. – anihilator alternatywy — coś lub prawda to prawda,
  5. – anihilator koniunkcji — coś oraz fałsz to fałsz,
  6. – identyczność alternatywy — coś lub 0 to coś, wynik zależy tylko od A,
  7. – skoro koniunkcja daje prawdę tylko dla , to nie jest możliwe uzyskanie wyniku innego niż 0 – jeśli A to 1, to negacja 1 da 0, więc otrzymamy ,
  8. – skoro alternatywa daje prawdę, gdy co najmniej jeden operand (term) jest prawdziwy, to zawsze otrzymamy lub ,
  9. – podwójna negacja „znosi się”,
  10. ,
  11. ,

Źródła

Boolean Algebra. Wikibooks, open books for an open world. https://en.wikibooks.org/wiki/Electronics/Boolean_Algebra

Boolean Algebra. Wikipedia. https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.