Obliczanie całki oznaczonej na podstawie definicji

f(x)=x

Obliczanie całki oznaczonej z definicji 1a

Czy ta funkcja jest całkowalna? Sprawdzanie tego z definicji jest technicznie bardzo trudne, dlatego zakładamy, na pewien czas, że jest ona całkowalna. Pamiętajmy, że każda funkcja ciągła jest całkowalna.

Nie musimy więc operować dowolnym ciąg podziałów odcinka, wystarczy wziąć jeden ciąg podziałów o równej długości. Podzielmy więc odcinek \overline{ab} na n odcinków: \frac{1}{n},\ \frac{2}{n},\ \frac{3}{n},\ \cdots,\ 1=\frac{n}{n}, zaś punktami pośrednimi niech będą prawe końce kolejnych odcinków. Utwórzmy więc ciąg sum całkowych \sigma_n:

\sigma_n=\frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}+\frac{2}{n}\cdot\frac{1}{n}+\frac{3}{n}\cdot\frac{1}{n}+\cdots+\frac{n}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{n^2}(1+2+\cdots+n)=\\=\frac{1}{n^2}\cdot(\frac{1+n}{2}\cdot n)=\frac{1+n}{2n}

Określamy granicę ciągu \sigma_n poprzez podzielenie licznika i mianownika przez n w najwyższej potędze w mianowniku:

lim_{n \rightarrow \infty} \delta_n=lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n}+\frac{n}{n}}{\frac{2n}{n}}=lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\frac{1}{n}+1}{2}=\frac{1}{2}
(lim_{n \rightarrow \infty}(\frac{1}{n})=0).

Wniosek:

\int_0^1 x\mathrm{d}x=\frac{1}{2}

A geometrycznie? Pole trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych równych 1 = pole pewnego trapezu krzywoliniowego.

f(x)=x2

Obliczanie całek 1b

Czy to możliwe, żeby z definicji sprawdzić całkowalność tej funkcji? Nie. Dlatego, podobnie jak poprzednio, nonszalancko zakładamy, że jest całkowalna. Operujemy więc jednym wyborem ciągu podziału na n odcinków o równej długości i jednym wyborem punktów pośrednich - prawe końce odcinków. Bo wygodnie dla rachunków.

\sigma_n=\frac{1}{n^2}\cdot\frac{1}{n}+\frac{2^2}{n^2}\cdot\frac{1}{n}+\cdots+\frac{2^n}{n^2}\cdot\frac{1}{n}=\\=\frac{1}{n^3}(1^2+2^2+\cdots+n^2)=\\=\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}=\frac{\frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}}{\frac{6n^2}{n^2}}=\\=\frac{\frac{n+1}{n}\cdot\frac{2n+1}{n}}{6}=\frac{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}{6}

(zobacz: Sumy w Wikiźródłach)

lim_{n\rightarrow\infty}\sigma_n=lim_{n\rightarrow\infty}\frac{(1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}{6}=\frac{1\cdot 2}{6}=\frac{1}{3}

Zatem \int_0^1 x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}.

Zadanie domowe 1

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin{x}\mathrm{d}x=?

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *