Definicja i interpretacja geometryczna całki oznaczonej

Interpretacja geometryczna całki

Interpretacja geometryczna całki

\sigma_n = \sum_{i=1}^n f(\xi_i^{(n)})\Delta x_i^{(n)}

\sigma_n to suma pól odpowiednich prostokątów powstałych z podziału funkcji f(x) na n odcinków o długości i - wymiary takiego prostokąta to f(\xi_i^{(n)}) \times \Delta x_i^{(n)} (na rysunku: X_i \times D_i).

Podział odcinka \overline{ab} na n części będzie określany jako normalny - długość najdłuższego odcinka jest ciągiem zbieżnym do 0 (bardzo małe, prawie 0, ale jeszcze nie 0). A skoro sam jest zbieżny do 0, to każdy jest zbieżny do 0. Czyli odcinek jest krojony bardzo dobrze - nie zostają żadne większe niepodzielone kawałki.

Definicja całkowalności

Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziału odcinka \overline{ab} i każdego wyboru punktów pośrednich \xi_i^{(n)} odpowiadający temu ciągowi ciąg \sigma_n jest ciągiem zbieżnym (ma granicę właściwą - liczbę, tę samą), to funkcja f jest całkowalna (ma całkę oznaczoną Riemanna).

lim_{n \rightarrow \infty} \sigma_n = \int_a^b f(x)dx
granicą ciągu sum całkowych \sigma_n jest całka oznaczona (Riemanna) na odcinku od a do b (w granicach od a do b) z funkcji f(x) [dx]

Sprawdzanie całkowalności funkcji z definicji jest bardzo trudne, czasem niewykonalne. Ale tym, póki co, nie przejmujmy się.

Interpretacja geometryczna całki - ciąg dalszy

Geometrycznie całka jest polem trapezu krzywoliniowego - korzystając z oznaczeń na rysunku, ograniczonego osią OX, prostymi x=a i x=b i wykresem funkcji f.

Całkować nie będziemy jedynie pól trapezów krzywoliniowych, będziemy obliczać całki oznaczone z różnych funkcji ograniczonych (nieograniczone nie mają całek oznaczonych = nie są całkowalne).

Na przykładzie

f(x)=2, \ x \in <0; 1>

Interpretacja geometryczna całki - przykład 1a

Aby sprawdzić, czy funkcja jest całkowalna, należy wziąć dowolny normalny ciąg n podziałów odcinka \overline{ab}, na każdym odcinku wybrać punkt pośredni \xi_i - powstaną odcinki \Delta_i.

Interpretacja geometryczna całki - przykład 1b

Obliczamy:

\delta_n=2\cdot\Delta_1+2\cdot\Delta_2+\cdots+2\cdot\Delta_n=2(\Delta_1+\Delta_2+\cdots+\Delta_n)=2\cdot1=2
\Delta_1+\Delta_2+\cdots+\Delta_n=|\overline{ab}|

Ciąg \delta_n jest równy 2, więc intuicyjnie jest zbieżny do 2. Ponieważ f(x)=2 jest funkcją stałą, można zauważyć, że funkcja stała jest zawsze zbieżna do swojej wartości. Zatem funkcja f(x) jest całkowalna, ma całkę Riemanna:

2=\int_0^1 2dx

Przykład funkcji niecałkowalnej: funkcja Dirichleta.

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *